గణితశాస్త్రం ఎటర్నా
అందరికి ప్రవేశం

నైరూప్య

హెల్మ్‌హోల్ట్జ్ నుండి లాప్లాసియన్ ఆపరేటర్‌గా మారడం ద్వారా వేవ్ ఫంక్షన్ సొల్యూషన్స్

జోనాథన్ బ్లాక్‌లెడ్జ్ మరియు బజార్ బాబాజనోవ్

Helmholtz, Schr¨odinger మరియు Klein-Gordon సమీకరణాలు అన్నీ ఒకే విధమైన రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి (స్థిరమైన తరంగదైర్ఘ్యం కోసం) మరియు ఆప్టిక్స్, క్వాంటం మెకానిక్స్ మరియు సాపేక్ష క్వాంటం మెకానిక్స్‌లలో వరుసగా అప్లికేషన్‌లను కలిగి ఉంటాయి. ఈ అనువర్తనాలకు ప్రధానమైనది అవరోధం మరియు సంభావ్య స్కాటరింగ్ సిద్ధాంతం, ఇది గ్రీన్ ఫంక్షన్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం ద్వారా చెల్లాచెదురుగా ఉన్న వేవ్ ఫంక్షన్‌కు అతీంద్రియ సమీకరణాలను అందిస్తుంది, తద్వారా ఉజ్జాయింపు పద్ధతులను ఉపయోగించడం అవసరం. హెల్మ్‌హోల్ట్జ్ ఆపరేటర్‌ను లాప్లాసియన్ ఆపరేటర్‌గా మార్చడం మరియు పాయిసన్ సమీకరణానికి గ్రీన్ ఫంక్షన్ సొల్యూషన్‌ను వర్తింపజేయడంపై ఆధారపడిన ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి కొత్త విధానంపై ఈ పేపర్ నివేదిస్తుంది. ఈ విధానం ప్రాథమిక స్థితికి లోబడి ఖచ్చితమైన ఫార్వర్డ్ మరియు ఇన్వర్స్ స్కాటరింగ్ పరిష్కారాన్ని అందిస్తుంది, దీని భౌతిక ఆధారం క్లుప్తంగా అన్వేషించబడుతుంది. ఇది కన్వర్జెన్స్ కండిషన్‌పై అంచనా వేయని శ్రేణి పరిష్కారాన్ని కూడా అందిస్తుంది.