గణితశాస్త్రం ఎటర్నా
అందరికి ప్రవేశం

నైరూప్య

హేతుబద్ధత మరియు సాధారణీకరించిన హార్మోనిక్ సంఖ్యల వద్ద రీమాన్ జీటా ఫంక్షన్ విలువల మధ్య అనుసంధానంపై

PaweËœJ. SzabËœowski

సిరీస్ యొక్క Euler రూపాంతరాన్ని ఉపయోగించి, మేము పూర్ణాంకం వద్ద Hurwitz zeta ఫంక్షన్ (s; t) విలువలను మరియు కొన్ని సాధారణీకరించిన హార్మోనిక్ సంఖ్యలు కనిపించే నిర్దిష్ట వేగంగా కలుస్తున్న శ్రేణులకు ఆర్గ్యుమెంట్‌ల యొక్క హేతుబద్ధ విలువలను అనుబంధిస్తాము. అరకావా-కనెకో జీటా ఫంక్షన్‌ల లక్షణాలపై ఇటీవలి, మరింత అధునాతన ఫలితాల నుండి పేపర్ యొక్క చాలా ఫలితాలు పొందవచ్చు. సాధారణ పునరావృత్తులు పరిష్కరించడం ద్వారా మేము మా ఫలితాలను నేరుగా పొందుతాము. పైన పేర్కొన్న సాధారణీకరించిన హార్మోనిక్ సంఖ్యల రూపం Hurwitz ఫంక్షన్ యొక్క వాదనల విలువల గురించి సమాచారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ప్రత్యేకంగా మేము నిరూపిస్తాము: 8k 2 N : (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n ; ఇక్కడ H (k) n సాధారణీకరించిన హార్మోనిక్ సంఖ్యల కంటే తక్కువగా ఉంటుంది లేదా K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! ; ఇక్కడ K కాలాటాన్ స్థిరాంకాన్ని సూచిస్తుంది మరియు Hn nవ (సాధారణ) హార్మోనిక్ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఇంకా మేము ^ (k) = P1 j=1(1)j1=jk , k 2 N మరియు ^ (0) = 1=2 యొక్క ఫంక్షన్‌ని ఉత్పత్తి చేయడం B(1=2; 1 y; 1కి సమానం) అని చూపిస్తాము. + y) ఇక్కడ B(x; a; b) అసంపూర్ణమైన బీటాను సూచిస్తుంది