గణితశాస్త్రం ఎటర్నా
అందరికి ప్రవేశం

నైరూప్య

ప్రత్యామ్నాయ (ఓరియెంటెడ్) ఏకవచన కోచెన్‌లు మరియు సవరించిన కప్ ఉత్పత్తి

తలియా సాహిహి మరియు హోమయూన్ ఎష్రాఘి

టోపోలాజికల్ స్పేస్ కోసం ఏకవచన గొలుసు కాంప్లెక్స్ యొక్క ప్రత్యేక సబ్‌కాంప్లెక్స్, చారిత్రాత్మకంగా ఓరియెంటెడ్ సింగిల్ చైన్ కాంప్లెక్స్ అని పిలుస్తారు, ఇక్కడ కొత్త పేరు "ప్రత్యామ్నాయ" ఏకవచన గొలుసు కాంప్లెక్స్‌తో ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ సబ్‌కాంప్లెక్స్ మరియు దాని ద్వంద్వ కాంప్లెక్స్ వరుసగా ఏకవచన గొలుసులు మరియు కోచైన్‌లకు సమానమైన గొలుసు హోమోటోపీ అని మరియు అదే హోమోలజీ మరియు కోహోమోలజీని కలిగి ఉంటాయని ఇప్పటికే తెలుసు. ఇక్కడ, ఈ సబ్‌కాంప్లెక్స్‌లోని కొన్ని అంశాలను పునఃపరిశీలించడంతో పాటు, హేతుబద్ధమైన లేదా వాస్తవ సంఖ్యలలోని గుణకాలతో ప్రత్యామ్నాయ ఏకవచన కోచైన్‌లు (ద్వంద్వ ప్రత్యామ్నాయ ఏకవచన గొలుసులు) వాస్తవానికి సహజ విభజన ద్వారా ఏకవచన కోచైన్‌ల సంగ్రహాలు అని చూపబడింది. ఈ సహజ విభజన కోహోమోలజీలకు కూడా పట్టుకోవచ్చని చూపబడింది: ఏ క్రమంలోనైనా, ఏకవచన కోహోమోలజీ ప్రత్యామ్నాయ కోహోమోలజీగా విడిపోతుంది మరియు పరిగణించబడిన టోపోలాజికల్ స్పేస్ కాంపాక్ట్ అయితే సున్నాగా ఉండే మరొక సమ్మేళనం. అలాగే ఈ సందర్భంలో అవకలన రూపాల కోసం వెడ్జ్ ఉత్పత్తిని పోలి ఉంటుంది, అవకలన రూపాల్లో చీలిక ఉత్పత్తిలో వలె అదే బీజగణిత లక్షణాలతో సవరించిన కప్ ఉత్పత్తిని నిర్వచించవచ్చు. ఇది మానిఫోల్డ్‌లపై నాన్‌లీనియర్ గ్లోబల్ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్ యొక్క కొన్ని టోపోలాజికల్ మరియు స్ట్రక్చర్-ఫ్రీ అంశాలను పరిశోధించడానికి ఒక ఆలోచనను అందిస్తుంది.